Váci Szakképzési Centrum
Boronkay György
Műszaki Technikum és Gimnázium
  1. Nyitó oldal
  2. Nyitó oldal
  3. Egy matematikai probléma, ill. annak gyors megoldása

Egy matematikai probléma, ill. annak gyors megoldása

2016-05-23 10:20:00

Pár éve iskolánk matematika-számítástechnika-rajz-szakos tanárát, Kemenes Tamást felkérte egy jóbarátja, hogy hozzon létre egy programot, amellyel nagy számok esetén is ellenőrizni lehetne egy kis számok között érvényesnek tűnő, roppant érdekes számelméleti megfigyelést. A kollégánk által írt program bár igazolta, de bizonyítani az sem tudta a feltevés helyességét, így annak igazolása ma izgalmas, megoldandó feladatként a tehetséges matematikusokra vár. 

Eredeti cikkünk ennek az írásnak az alján található, de mivel okafogyottá lett a felhívás, ezért inkább ezt az írást tettük előrébb.
 
***
 
Mint azért az valamelyest már sejthető volt a cikk közlésekor is, s ez a tény talán még a laikusok előtt sem lehetett annyira ismeretlen, számelméletből nem igazán születtek már az utóbbi 100 esztendőben olyan eredmények, amelyekkel valamikor már nem foglalkozott volna a matematika. Úgy tűnik, hogy számos aritmetikai problémára már az ókorban találtak korrekt, triviális megoldásokat. (Pl. Püthagórásznak is voltak komoly érdemei a hatványok ilyetén való összegekre való felbontásának, és bizonyításának területén.) 
 
Már a cikk publikálásának másnapján a Boronkay szellemi műhelyéből érkezett is a segítség a fenti problémára, amely úgy tűnik, messze nem ismeretlen a matematika tudománya előtt. 
 
Példaként két írást is idézhetünk azok számára, akiknek érdeklődését e kérdésre adható lehetséges válasz felkeltette:
 
Példaként itt egy szakdolgozat, ami csupa ilyen problémákkal, és a geometriai szemléltetésükkel foglakozik és ez az oldal, rövidebben nagyjából ugyanerről.
 
Amiért nem hagyhatja hidegen a számelmélet a laikusokat sem, arra talán itt egy lehetséges magyarázat:
 
„Megállapíthatjuk, hogy az aritmetika legalapvetőbb tárgyai, a természetes számok értelmünk létezői, ez a létezés azonban nem értelmünk önkényes, valóságtól független tevékenységének az eredménye. Kronecker német matematikus mondása szerint ’a természetes számokat Isten alkotta, a többi már emberi alkotás’. Amint láttuk, még a természetes számok is az emberi értelem alkotásai, amelyek azonban nem függetlenek Isten alkotásától, az anyagi világtól. A matematikusokat azonban néha megdöbbenti az a rejtélyesség, titokzatosság, amely például a természetes számok körében is található.” http://www.matthaios.hu/
 
S álljon még itt zárszóként egy anekdota (igaz történet) Srínivásza Rámánudzsan (1887 – 1920) indiai matematikus zseniről, akiről az a hír járja, hogy minden magasabb tanulmányok folytatása nélkül jelentős felfedezéseket tett a matematikában, különösen a számelméletben, a kombinatorikus számelméletben, a partíciókkal kapcsolatos problémák és a végtelen sorokkal kapcsolatban. A maga módján ő is „laikus” volt, s elég érdekesen állt a matematikai problémák megoldásához. Innentől a Wikipedia vonatkozó cikkére hivatkozunk:
 
„Rámánudzsant szerény, hallgatag és szégyenlős embernek írták le, kifinomult modorral. Spártai életmódot folytatott, gyakran főzött a szobájában saját maga számára vegetáriánus ételeket. A hinduizmus híveként nagyon vallásos volt, elmondása szerint Namagiri istennő segítette álmában a matematikai tételek felfedezésében, akiről úgy tartották, hogy a családjuk védőszentje volt. Apja és anyja hozzá imádkoztak, mert házasságuk után évekig nem született gyermekük. Anyai nagyanyja többször transzba esett, ekkor Namagiri istennő beszélt hozzá. Egyik alkalommal - évekkel Rámánudzsan születése előtt - az istennő azt nyilatkozta a nagymamának, hogy egy nap meg fog szólalni a lánya fián keresztül. Rámánudzsan ismerte a történetet és hitt is benne.
 
Mikor egyszer Hardy (a fiatal indiai matematikus angol barátja) és Rámánudzsan Londonban taxin utazott, Hardy a taxi távozása után vette észre, hogy aktatáskáját a kocsiban felejtette. Kéziratok lévén a táskában, ez kétségbe ejtette, de Rámánudzsan megnyugtatta, hogy a taxi száma 1729. Hardy igen örült ennek, de nem hagyta nyugodni a kérdés, hogyan lehetett megjegyezni egy ilyen érdektelen számot. Nem érdektelen ez a szám, felelte Rámánudzsan: ez a legkisebb olyan egész szám, amely kétféleképpen bontható fel két köbszám összegére:
 
1729=13+123, 
1729=93+103.
 
Na szóval ilyenféle élmény az a „rejtélyesség, titokzatosság”, amely megdöbbenti a természetes számokkal bíbelődőket.
 

 

Az alábbiakban közöljük Hommer László „Azok a csodálatos páratlan számok!” című, a szlovákiai Katedra című lapban megjelent cikkét, amelyben leírja e figyelemreméltó, de még nem bizonyított megfigyelését. 

 
A cikk letöltése: 
 
A szerző, mint azt elmondja ebben az írásában, bár nem matematikus, de mindig nagyon érdekelte a számok világa, írja: „csak szeretek játszani a számokkal”. Egy alkalommal egy ilyen játszadozása során, valamikor a 90-es évek elején, amikor még személyi számítógép sem volt, rendkívül érdekes összefüggést talált az egész számok hatványai, illetve a meghatározott számú páratlan szám összege között. Az összefüggésre a harmadik hatvány számpiramisa vezetette rá. 
 
 
E felismerés nevezetesen az, hogy a természetes számok pozitív egész hatványai felírhatók egymást követő páratlan számok összegeként úgy, hogy az alapból és a hatványkitevőből pontosan megadható a sorozat első eleme, és a sorozat tagjainak darabszáma is. (A jobb megértés érdekében érdemes most a cikkben leírtakat megtekinteni.)

A dolog tehát jelenleg ott tart, hogy a megfigyelés helyességét igazolta már a nagy számok esetén Kemenes Tamás programja, de a bizonyításra tett kísérletbe a problémát megoldani szándékozó pár matematikusnak eddig beletört a bicskája. Úgyhogy adott most minden rátermett algebra rajongó előtt a feladat: van egy képlet, amely segítségével a hatványozás sorozat-összeadássá konvertálható, és csak az a kérdés: hogy lehet-e a matematika egzakt módszereivel bizonyítani ennek az igazságát?
 
Honlapunkon azért közöljük ezt az írást – azon túl, hogy nagy büszkeségünkre Kemenes kolléga már részese volt e matematikai probléma megoldására tett kísérletnek –, abban reménykedünk hátha a sorok boronkays olvasói közül kerülhet ki az, aki igazolni tudja ennek az állításnak, sejtésnek általános helyességét. Úgyhogy kalandra fel!!!
 
Hujbert István

 

A weboldalon cookie-kat használunk, amik elengedhetetlenek az oldal működésének szempontjából.